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2019年成人高考高升本數學(xué)考試章節難點(diǎn)解析

作者:鄔老師

  難點(diǎn)6 函數值域及求法

  函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內容之一.本節主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法,并會(huì )用函數的值域解決實(shí)際應用問(wèn)題.

  難點(diǎn)磁場(chǎng)

  (★★★★★)設m是實(shí)數,記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ).

  (1)證明:當m∈M時(shí),f(x)對所有實(shí)數都有意義;反之,若f(x)對所有實(shí)數x都有意義,則m∈M.

  (2)當m∈M時(shí),求函數f(x)的最小值.

  (3)求證:對每個(gè)m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1.

  案例探究

  [例1]設計一幅宣傳畫(huà),要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為λ(λ<1),畫(huà)面的上、下各留8 cm的空白,左右各留5 cm空白,怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸,才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最小?如果要求λ∈[ ],那么λ為何值時(shí),能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最小?

  命題意圖:本題主要考查建立函數關(guān)系式和求函數最小值問(wèn)題,同時(shí)考查運用所學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力,屬★★★★★級題目.

  知識依托:主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.

  錯解分析:證明S(λ)在區間[ ]上的單調性容易出錯,其次不易把應用問(wèn)題轉化為函數的最值問(wèn)題來(lái)解決.

  技巧與方法:本題屬于應用問(wèn)題,關(guān)鍵是建立數學(xué)模型,并把問(wèn)題轉化為函數的最值問(wèn)題來(lái)解決.

  解:設畫(huà)面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得:S=5000+44 (8 + ),當8 = ,即λ= <1)時(shí)S取得最小值.此時(shí)高:x= =88 cm,寬:λx= ×88=55 cm.

  如果λ∈[ ]可設 ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達式得:

  又 ≥ ,故8- >0,

  ∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在區間[ ]內單調遞增.

  從而對于λ∈[ ],當λ= 時(shí),S(λ)取得最小值.

  答:畫(huà)面高為88 cm,寬為55 cm時(shí),所用紙張面積最小.如果要求λ∈[ ],當λ= 時(shí),所用紙張面積最小.

  [例2]已知函數f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)當a= 時(shí),求函數f(x)的最小值.

  (2)若對任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立,試求實(shí)數a的取值范圍.

  命題意圖:本題主要考查函數的最小值以及單調性問(wèn)題,著(zhù)重于學(xué)生的綜合分析能力以及運算能力,屬★★★★級題目.

  知識依托:本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍,體現了轉化的思想與分類(lèi)討論的思想.

  錯解分析:考生不易考慮把求a的取值范圍的問(wèn)題轉化為函數的最值問(wèn)題來(lái)解決.

  技巧與方法:解法一運用轉化思想把f(x)>0轉化為關(guān)于x的二次不等式;解法二運用分類(lèi)討論思想解得.

  (1)解:當a= 時(shí),f(x)=x+ +2

  ∵f(x)在區間[1,+∞ 上為增函數,

  ∴f(x)在區間[1,+∞ 上的最小值為f(1)= .

  (2)解法一:在區間[1,+∞ 上,f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.

  設y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增,

  ∴當x=1時(shí),ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時(shí),函數f(x)>0恒成立,故a>-3.

  解法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ 當a≥0時(shí),函數f(x)的值恒為正;

  當a<0時(shí),函數f(x)遞增,故當x=1時(shí),f(x)min=3+a,

  當且僅當f(x)min=3+a>0時(shí),函數f(x)>0恒成立,故a>-3.

  錦囊妙計

  本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決的方法主要有:

  (1)求函數的值域

  此類(lèi)問(wèn)題主要利用求函數值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等.無(wú)論用什么方法求函數的值域,都必須考慮函數的定義域.

  (2)函數的綜合性題目

  此類(lèi)問(wèn)題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目.

  此類(lèi)問(wèn)題要求考生具備較高的數學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會(huì )成為熱點(diǎn)和重點(diǎn),并可以逐漸加強.

  (3)運用函數的值域解決實(shí)際問(wèn)題

  此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉化為函數問(wèn)題,從而利用所學(xué)知識去解決.此類(lèi)題要求考生具有較強的分析能力和數學(xué)建模能力.

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本文關(guān)鍵詞: 2019年   成人高考   高升本   數學(xué)考試   章節難點(diǎn)  
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