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2022年陜西成人高考專(zhuān)升本《高等數學(xué)》模擬題及答案(7)

作者:葉老師
【導航】2022年成人高考高起點(diǎn)數學(xué)模擬題及答案,更多2022成人高考模擬試題、2022成考經(jīng)驗等信息,請關(guān)注陜西成考網(wǎng)(www.entotalcontrol.com)!

  二階常系數線(xiàn)性微分方程

  考點(diǎn)一、二階常系數線(xiàn)性齊次方程y'+py'+qy=0解的結構

  若函數y?,y?為該方程兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,即y?≠ky?,則該方程的通解為y=C?y?+C?y?.

  考點(diǎn)二、二階常系數線(xiàn)性非齊次方程y”+py'+qy=f(z)解的結構

  若y*為方程y”+py'+qy=f(x)的一個(gè)特解,?=C?y?+C?y?為與其對應的齊次方程y”+py'+qy=0的通解,則y*+y為方程y”+py'+qy=f(x)的通解.

  若y?是方程y”+py'+qy=f1(x)的解,y?是方程y”+py'+qy=f?(x)的解,則y?十y?是方程y”+py'+qy=f?(x)+f?(x)的解.

  考點(diǎn)三、二階常系數線(xiàn)性齊次方程y”+py'+qy=0通解的求法

  先寫(xiě)出與其對應的特征方程r²+pr+q=0.

  1.若特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根r?,r?,則齊次方程的通解為?=C?e?1?”+C?er?x.

  2.若特征方程有一重根r,則齊次方程的通解為?=(C?x+C?)e??.

  3.若特征方程無(wú)實(shí)根,或者說(shuō)有一對共軛復根r?=α+iβ,r?=α-iβ,則齊次方程的通解為?=e??(C?cosβx+C?sinβx) .

  考點(diǎn)四、二階常系數線(xiàn)性非齊次方程y”+py'+qy=f(x)通解的求法

  1.先求出與其對應的齊次方程y”+py'+qy=0的通解y.

  2.再求出非齊次方程的特解y*,則該方程的通解為y=?+y*.

  3.特解y*的求法

  (1) 若f(x) =Pn(x) e??, 則方程的特解可設為y*=x??Qn(x) e??,其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式,系數待定,且

  k=0,α不是特征根,

  k=1,α為單獨特征根,

  k=2,α為二重特征根.

  (2) 若f(x)=e??(Acosβx+Bsinβx),則方程的特解可設為y*=x?e??(A?cosβx+B?sinβx)。其中A?,B?為待定系數,且

  k=0,a+iβ不是特征根,

  k=1,a+iβ是特征根.

  解題指導

  二階常系數線(xiàn)性微分方程的求解方法:

  第一步:首先判斷方程類(lèi)型是否為二階常系數線(xiàn)性微分方程.

  第二步:若是,看是齊次,還是非齊次.

  1.若是齊次的,應先寫(xiě)出特征方程:r²+pr+q=0,然后求特征根,由特征根構造方程的通解.

  2.若是非齊次的,應先求出其對應的齊次方程的通解,然后構造非齊次方程的特解,最后由解的結構得到原非齊次方程的通解.

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